ABI

Christine Bertrand


Ici, l'on s'intéresse à différentes approches mathématiques de notions usuellement liées à la représentation de l'espace ou encore du continu : notions de proximité, de séparation, de continuité… Tout particulièrement, et en collaboration avec Michel De Glas (CNRS, Paris 7), l'on s'attache aux relations que peuvent entretenir structures locologiques, structures (quasi) uniformes, et structures définies par une "inclusion forte" (1).
La notion d'espace locologique, que l'on doit à M. De Glas, est fondée sur la donnée d'une relation binaire sur un ensemble, généralement non transitive, qui exprime une "proximité", une "ressemblance", voire une "indiscernabilité" entre les éléments de cet ensemble. Cette donnée permet la définition de divers opérateurs ensemblistes, en premier lieu ceux de cœur et d'ombre, qui, contrairement aux opérateurs d'adhérence et d'intérieur en topologie, ne sont pas idempotents.
La locologie possédant ses propres notions de frontières, de séparation, de continuité, l'approche locologique permet de s'affranchir du poids de la transitivité sous-jacente aux approches de type topologique (2) et de proposer une voie alternative à la topologie dans les situations auxquelles celle-ci s'adapte difficilement :
  • ainsi, elle permet la modélisation de certaines notions liées à l'appréhension sensible des relations spatiales (3),
  • ou encore, elle suggère que certaines des difficultés à modéliser les notions d'existence et d'égalité relatives que rencontre la théorie des ensembles empiriques de J.Bénabou seraient dues, au moins en partie, à l'usage de la topologie pour structurer l'espace des observateurs (4).
Ainsi, l'étude des relations de la locologie avec les autres types de structures citées permet entre autres de mieux cerner les conséquences de cette "transitivité cachée" dans les structures topologiques. Elle permet également d'envisager une relecture de divers travaux sur le continu, ainsi ceux des géomètres italiens de la fin du XIXème siècle (Veronese, Levi-Cività), ou encore ceux de Weyl.

(1) "strong inclusion", appelée encore "ordre topogène" par A.Császár. Ce type de structures comprend les structures topologiques et les structures de proximité.
(2) transitivité se manifestant notamment, en topologie, par l'idempotence de l'opérateur d'intérieur. Par ailleurs,on rappelle que toute topologie peut être obtenue comme découlant d'une structure quasi-uniforme formée de relations transitives.
(3) comme l'ont montré les travaux d'O. Breysse & M. De Glas pour les notions de contact et de contiguïté.
(4) C.B. & M.De Glas : Ω-ensembles et ensembles empiriques revisités (à paraître)